[ 10971 ] [ 순열 ] 외판원 순회 2

문제 설명

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문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 [i][j]형태로 주어진다. [i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, [i][j] 는 [j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. [i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 [i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

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풀이 과정

• DFS로 풀수도 있을거라고 생각하지만, 도시의 개수가 최대 10개로 매우 작으므로 전체 경우의 수를 조합으로 구해서 해결

1. 각 도시들을 번호를 붙임
   • N개의 도시라고 하면, [0, 1, 2, ... , n-1]까지 번호 붙임
   • [i][j]를 i에서 j도시로 이동할 때 비용이라고 둔다.
2. 번호들로 조합을 구성한다.
   • itertools.permutations 사용
   • 이후, 시작도시로 돌아와야 하므로 각각의 케이스의 맨 뒤에 맨 첫번째 도시 번호를 붙여준다.
3. 각각의 케이스에 대해 비용이 얼마나 나오는지 계산
   • 진행하다가 [i][j]가 0이 되는 경우는 길이 없는것이므로 중지
4. 비용의 최솟값을 출력해준다.

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소스 코드

import sys
from itertools import permutations

input = sys.stdin.readline
N = int(input().rstrip())
W = [list(map(int, input().rstrip().split())) for _ in range(N)]

total_case = list(permutations([i for i in range(N)], N))

def check_case(W, case):
    case = case + (case[0], )
    cost = 0
    for i in range(1, len(case)):
        if W[case[i]][case[i-1]] == 0:
            return int(10e9)
        cost += W[case[i]][case[i-1]]

    return cost

answer = int(10e9)
for case in total_case:
    answer = min(answer, check_case(W, case))

print(answer)