[ 11660 ] [ DP ] 구간 합 구하기 5

문제 설명

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문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

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풀이 과정

• 처음엔 그냥 2차원 반복문으로 하면 안되나 했지만 .. 합을 구해야하는 횟수가 100000번이라서 안됨. DP를 사용해야 함.

1. DP[i][j]를 시작점에서부터 i행 j열까지의 표의 합계라고 두자.
   • 따라서, DP[i][j] = DP[i-1][j] + DP[i][j-1] + 표[i][j] - DP[i-1][j-1]
   • DP[i-1][j-1]을 빼주는 이유는, DP[i-1][j] + DP[i][j-1]을 할 때 겹치기 때문이다.
2. 이후, x1, y1, x2, y2를 입력받은 다음 해당 구간의 합계를 구한다.
   • 구간의 합계는 DP[x2][y2] - DP[x1-1][y2] - DP[x2][y1-1] + DP[x1-1][y1-1]
   • 마찬가지로, DP[x1-1][y1-1]을 더해주는 이유는 겹치기 때문에 두번 빼지게 되기 때문이다.
3. 구간의 합계를 출력해주면 된다.

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소스 코드

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import sys

input = sys.stdin.readline
N, M = map(int, input().rstrip().split())

matrix = ([[0] * (N+1)]) + (
    [[0] + list(map(int, input().rstrip().split())) for _ in range(N)]
) 
dp = [[0] * (N+1) for _ in range(N+1)]

for i in range(1, N+1):
    dp[i][1] = dp[i-1][1] + matrix[i][1]
    dp[1][i] = dp[1][i-1] + matrix[1][i]

for i in range(2, N+1):
    for j in range(2, N+1):
        dp[i][j] = matrix[i][j] + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]

for _ in range(M):
    x1, y1, x2, y2 = map(int, input().rstrip().split())
    area = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]
    print(area)